Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABDE為直角梯形，AE⊥AB，AE∥BD，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，CE=

5

，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABDE⊥平面ABC；
（2）求二面角D-CE-M的余弦值；
（3）求三棱錐D-CME的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由勾股定理可得AE⊥AC，結(jié)合AE⊥AB和線面垂直的判定定理可得AE⊥平面ABC，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面ABDE⊥平面ABC；
（2）解法一：連接DM，可證得DM⊥平面CME，過M作MF⊥CE交CE于點(diǎn)F，連接DF，則∠DFM即為二面角D-CE-M的平面角，解三角形求出答案；
解法二：以C為原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．計(jì)算出平面CDE的法向量和平面CEM的法向量，利用向量夾角求解；
解法三：以M為原點(diǎn)，MB，MC分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．計(jì)算出平面CDE的法向量和平面CEM的法向量，利用向量夾角求解；
（3）求出三棱錐D-CME的底面面積和高，代入體積公式，求解．

解答： 證明：（1）∵AC=2AE=2，CE=

5

，
∴AE²+AC²=CE²，即AE⊥AC；
又AE⊥AB，AB∩AC=C；
∴AE⊥平面ABC；
∵AE?平面ABDE；
∴平面ABDE⊥平面ABC…（4分）
（2）解法一：連接DM，可證得DM⊥平面CME，
過M作MF⊥CE交CE于點(diǎn)F，連接DF，
則∠DFM即為二面角D-CE-M的平面角．

計(jì)算得：DM=

6

，MF=

6 5

，DF=

6

5

．∴cos∠DFM=

MF

DF

=

6

6

…（9分）
解法二：以C為原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．
計(jì)算得，平面CDE的法向量

m

=(1，2，-2)；
平面CEM的法向量

n

=(1，-1，-2)．cos＜

m

，

n

＞=…=

6

6

，
所以，二面角D-CE-M的余弦值為 

6

6

．
解法三：以M為原點(diǎn)，MB，MC分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．
計(jì)算得，平面CDE的法向量

m

=(-1，3，2

2

)；
平面CEM的法向量

n

=(1，0，

2

)．
cos＜

m

，

n

＞=

6

6

所以，二面角D-CE-M的余弦值為 

6

6

．
（3）VD-CME=

1

3

•S△CME•MD=

1

3

•

1

2

•MC•ME•MD=

1

6

•

2

•

3

•

6

=1…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間中的基本關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計(jì)算，考查識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力．