Question

12．定義區(qū)域[x₁，x₂]的長度為x₂-x₁（x₂＞x₁），函數(shù)$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區(qū)間[m，n]取最大長度時(shí)實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． -3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡，首先考慮f（x）的單調(diào)性，由題意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．利用韋達(dá)定理和判別式，求出m，n的關(guān)系．在求最大值

解答 解：解：函數(shù)$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
化簡得f（x）=$\frac{{a}^{2}x+ax-1}{{a}^{2}x}=\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)遞增，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（n）=m}\\{f（m）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根，即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根．
那么mn=$\frac{1}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{1+a}{a}$，
只需要△＞0，即（a²+a）²-4a²＞0，
解得：a＞1或a＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{（n+m）^{2}-4mn}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
故n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)解得：a=3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)性質(zhì)的方程的運(yùn)用，有一點(diǎn)綜合性，利用函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造新的函數(shù)解題．屬于中檔題，分類討論思想的運(yùn)用，增加了本題的難度，解題時(shí)注意．