Question

3．如圖，正四面體S-ABC中，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 設(shè)正四面體的棱長為a，取AC中點(diǎn)D，連結(jié)DE、DF，推導(dǎo)出△DEF是直角三角形，由此能求出異面直線EF與SA所成角．

解答 解：設(shè)正四面體的棱長為a，
取AC中點(diǎn)D，連結(jié)DE、DF，
∵E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，
∴DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AS，DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，∴DE=DF=$\frac{a}{2}$，
取BC中點(diǎn)O，連結(jié)SO，AO，則BC⊥SO，
BC⊥AO，
∵SO∩AO=O，∴BC⊥平面圖SAO，
∵AS?平面ASO，∴BC⊥AS，
∴DE²+DF²=EF²，EF=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE∥SA，∴∠DEF=45°是異面直線EF與SA所成的角，
∴異面直線EF與SA所成角為45°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．