Question

11．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，若a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿ，求數(shù)列{b_n-a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₂=1+d、a₅=1+4d，利用a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列計算可知公差d=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算，相加即可．

解答 解：（1）依題意可知，a₂=1+d，a₅=1+4d，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴（1+d）²=1+4d，即d²=2d，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知等差數(shù)列{a_n}的前n項和P_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵b_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和Q_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-n²-2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．