Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，故，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，代入到，可得，作差后，令結(jié)合，求得，欲證，只需證明，構(gòu)造，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得，從而證出.

試題解析：（1）解：∵

∴當(dāng)時(shí)，令，即當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 恒成立，故此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以

設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則

∴

∴

設(shè)

解得，所以

欲證，只需證明

設(shè)，則

設(shè)，則單調(diào)遞增

∴

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增

∴

∴，故成立．