Question

給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記f′′（x）=（f′（x））′，若f′′（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)（1）f（x）=sinx+cosx；（2）f（x）=lnx-2x；（3）f（x）=-x³+2x-1；（4）f（x）=-xe^-x在（0，

π

2

）上不是凸函數(shù)的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：依次求出f′（x），f″（x），判定出f″（x）在（0，

π

2

）上是否滿足f′′（x）＜0在D上恒成立，利用題中對(duì)凸函數(shù)的定義得出答案．

解答： 解：對(duì)于①，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義；
對(duì)于②，f′（x）=

1

x

-2，f″(x)=-

1

x2

，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義；
對(duì)于③，f′（x）=-3x²+2，f″（x）=-6x，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義；
對(duì)于④，f′（x）=（x-1）e^-x，f″（x）=（2-x）e^-x，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＞0恒成立；不符合定義；
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，是高考中常見(jiàn)題型，關(guān)鍵是理解題中所給的定義，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．