Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=3+2t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}cosθ$．
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為$P（\sqrt{3}，3）$，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去t，能求出直線l的普通方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$中，得5t²+12t+6=0，由此利用韋達(dá)定理能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=3+2t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），
∴消去t，得直線l的普通方程為：$y=2x+3-2\sqrt{3}$，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}cosθ，{ρ^2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴${x^2}+{y^2}=2\sqrt{3}x$，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$中，
整理，得5t²+12t+6=0
設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∵△＞0，∴${t_1}+{t_2}=-\frac{12}{5}，{t_1}{t_2}=\frac{6}{5}（{t_1}，{t_2}$同號）
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}|{t_1}|}}+\frac{1}{{\sqrt{5}|{t_2}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{\sqrt{5}|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的普通方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段倒數(shù)和的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．