Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，都有（）成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）0

【解析】

（1），．對(duì)分類討論，可得其單調(diào)區(qū)間．

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有恒成立， ，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解：（1），.

當(dāng)時(shí)，在恒成立，在是單減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，令，解之得.

從而，當(dāng)變化時(shí)，，隨的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

由上表中可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為.

（2）當(dāng)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立

.

令，只需；

又，

由（1）得在單調(diào)遞增，且，

所以存在唯一的，使得，

當(dāng)，即單調(diào)遞減，

當(dāng)，即單調(diào)遞增，

所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，當(dāng)時(shí)，

而在為增函數(shù)，，

即.而，

，即所求的最大值為0.