Question

【題目】已知圓和圓．

(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；

(2)設(shè)為平面上的點(diǎn)，滿足:存在過(guò)點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)或；(2) 或

【解析】

（1）因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，故可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到關(guān)于直線斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線的方程；

（2）與（1）相同，我們可以設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線和的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線斜率積為1，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等， 故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線和的方程.

(1)由于直線與圓不相交，

所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為 ，

圓的圓心到直線的距離為，

因?yàn)橹本�被圓截得的弦長(zhǎng)為 ，

所以 ，

又 ，從而

即或

所以直線的方程為或 .

(2) 設(shè)點(diǎn)滿足條件，

由題意分析可得直線和的斜率均存在且不為0，

不妨設(shè)直線的方程為，

則直線方程為 ，

因?yàn)?/span>和的半徑相等，及直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，

所以圓的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，

即

整理得

即

或

因?yàn)?/span>的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以 或

解得 或

這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn) 或點(diǎn) .