【題目】已知圓： 過橢圓： ()的短軸端點， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作圓的一條切線交橢圓于， 兩點，求的面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1.

【解析】試題分析: （Ⅰ）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)得線段長度的最大值為，且，解出，得橢圓的方程；（Ⅱ）利用點斜式設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及弦長公式可得底邊長（用斜率及表示）；利用點到直線距離公式得三角形的高（用斜率及表示）；根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得斜率與關(guān)系，代入面積公式并化簡得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，最后利用基本不等式求最值.

試題解析:解：（Ⅰ）∵圓過橢圓的短軸端點，∴，又∵線段長度的最大值為3，

∴，即，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）由題意可設(shè)切線的方程為，即，則，得．①

聯(lián)立得方程組消去整理得．

其中，

設(shè)， ，則， ，

則．②

將①代入②得，∴，

而，等號成立當且僅當，即．

綜上可知： ．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)滿足對任意，，恒有，且不恒為0．

（1）求和的值；

（2）試判斷的奇偶性，并加以證明；

（3）若，恒有，求滿足不等式的的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個最高點的坐標為（，），由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（π，0），φ∈（﹣，）．

（1）求這條曲線的函數(shù)解析式；

（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.

求證：(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知向量m＝(cosx，－1)，n＝，函數(shù)f(x)＝(m＋n)·m.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函數(shù)f(x)在上的最大值，求A，b和△ABC的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿E移動方向的分速度為。E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=時。

（1）寫出的表達式

（2）設(shè)0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值時x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【四川省高2017屆第一次名校聯(lián)考（廣志聯(lián)考）（理）】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知長方體的長和寬都是cm，高是4 cm.

(1)求BC和A′C′所成的角的度數(shù)．

(2)求AA′和BC′所成的角的度數(shù)．

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