Question

6．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，半徑為$\sqrt{2}$，且圓心C在第二象限．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）不過原點(diǎn)的直線l在x軸、y軸上的截距相等，且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓的一般方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心直線x+y-1=0上，求得D、E的值，可得圓的半徑，從而求得求圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)所求直線l的方程是x+y=a（a≠0），根據(jù)它與圓C相切，求得a的值，可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，得圓C的圓心為$C（{-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}}）$，∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0，即D+E=-2…①．
∵圓C的半徑為$\sqrt{2}$，∴$\frac{{{D^2}+{E^2}-12}}{4}=2$…②
又∵圓心C在第二象限，∴D＞0，E＜0，
由①②解得，D=2，E=-4，故圓C的方程為x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅱ）由題意可設(shè)，所求直線l的方程是x+y=a（a≠0），
由（Ⅰ）得，圓C的圓心為C（-1，2），∵直線l與圓C相切，∴$\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
解得a=-1或a=3，故直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的一般方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．