Question

2．已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于（1，0）中心對稱；
②若f（x）為奇函數(shù)，且f（x）關(guān)于直線x=1對稱，則4為函數(shù)f（x）一個周期．
③y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
④若f（1-3x）=f（1+3x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
其中正確命題是①②④． （寫出命題編號）

Answer 1

分析 ①由f（2+x）=-f（x）得f（x）=-f（2-x）  令x=x+2，帶入原式，有f（x）=-f（x-2），又f（x）為偶函數(shù)，有f（x-2）=f（2-x）得到對稱中心點．
②由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x+2）=-f（x），得到f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
③此兩函數(shù)都是抽象函數(shù)，可以分別看作函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，由此問題變化為研究f（x）與y=f（-x）的圖象的對稱性，再由平移規(guī)律得出函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象的對稱軸即可④若y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
④令t=1+3x，可得3x=t-1，代入f（1+3x）=f（1-3x）得f（t ）=f（2-t），繼而得到命題成立．

解答 解：①由f（2+x）=-f（x）得f（x）=-f（2-x）  令x=x+2，帶入原式，有f（x）=-f（x-2）
因為f（x）為偶函數(shù)，有f（x-2）=f（2-x）
所以f（x）=-f（2-x），關(guān)于（1，0）中心對稱．①正確．
②由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期為4的周期函數(shù)．②正確．
③：∵f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱
又函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，
∴函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，③錯誤．
④令t=1+3x，可得3x=t-1，代入f（1+3x）=f（1-3x）得f（t ）=f（2-t）
由于$\frac{t+2-t}{2}=1$，即關(guān)于t=1對稱，所以y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故④是命真題．
故答案為：①②④．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，及對稱中心點和對稱軸的求解方法，本題是一個中檔題目．