Question

12．已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx-x²+1．
（1）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值、最值，結(jié)合單調(diào)性和條件，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=xcosx-sinx-x²+1的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=cosx-xsinx-cosx-2x=-x（sinx+2），
即有曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線斜率為k=-2π，
切點為（π，-π+1-π²），
曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程為y+π-1+π²=-2π（x-π），
即有y=1+π²-π-2πx；
（2）f′（x）=cosx-xsinx-cosx-2x=-x（sinx+2），
由sinx+2＞0，當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=0處取得極大值，也為最大值，且為1．
由曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，
則b＜1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．