Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x•cosx，g（x）=x•sinx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式f（x）≥g（x）•a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）試探究x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，方程f（x）-g（x）=0解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點（0，f（0））處的導(dǎo)數(shù)值，再求得f（0），然后利用直線方程的點斜式得切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值，函數(shù)g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值，把不等式f（x）≥g（x）a恒成立轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值間的關(guān)系求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（2）中的單調(diào)性即可說明方程f（x）-g（x）=0在[-$\frac{π}{2}$，0]上有一解，再利用導(dǎo)數(shù)判斷兩函數(shù)在
（0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值說明在（0，$\frac{π}{2}$]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．

解答 解：（1）由f（x）=e^x•cosx，得f′（x）=e^xcosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx）．
∴f′（0）=e⁰（cos0-sin0）=1，又f（0）=e⁰cos0=1，
∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x+1；
（2）∵f′（x）=e^x•cosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時f′（x）＞0，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上為增函數(shù)，
則f（x）_min=f（-$\frac{π}{2}$）=${e}^{-\frac{π}{2}}$cos（-$\frac{π}{2}$）=0，
g′（x）=sinx+xcosx，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，g′（x）≤0，g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上為減函數(shù)，
則g（x）_max=g（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$．
要使不等式f（x）≥g（x）a恒成立，則a≤0．
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-0]；
（3）由（2）知，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，
且f（-$\frac{π}{2}$）＜g（-$\frac{π}{2}$），f（0）＞g（0），
∴在[-$\frac{π}{2}$，0]上方程f（x）-g（x）=0有一解；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，g′（x）=sinx+xcosx＞0，
函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$）時，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＞0，
當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＜0，
∴在（0，$\frac{π}{2}$]上f（x）有極大值，
而f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{π}{4}$=g（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{2}$）=0，g（$\frac{π}{2}$）=1．
∴在（0，$\frac{π}{2}$]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．
∴x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，方程f（x）-g（x）=0解的個數(shù)是2個．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)零點的判斷方法，分類討論是解答該提的關(guān)鍵，是壓軸題．