Question

20．若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sin²α+y²cos²α=1表示焦點在y軸上的橢圓的條件下長半軸長不小于2的概率是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓焦點在y軸上得出α的取值范圍，再根據(jù)長半軸長不小于2得出α的取值范圍，即可求出概率．．

解答 解：∵焦點在y軸上
∴sinα＞cosα，即sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-α）
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴α＞$\frac{π}{2}$-α，即$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{4}$，
長半軸長不小于2，即$\frac{1}{cosα}$≥2，
∴cosα≤$\frac{1}{2}$，
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{π}{2}$＞α≥$\frac{π}{3}$，
∴所求概率為$\frac{\frac{π}{2}-\frac{π}{3}}{\frac{π}{2}-\frac{π}{4}}$=$\frac{2}{3}$
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，考查概率的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．