Question

已知等差數列{a_n²}滿足首項a₁²=1，且公差d=1，a_n＞0，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=

1

an+1+an

，求數列{b_n}的前項和T_n，并求lg（T_n+1）的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差數列的通項公式先求出求{a_n²}的通項公式即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n=

1

an+1+an

的表達式，利用分母有理化進行化簡求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數列{a_n²}滿足首項a₁²=1，且公差d=1，
∴a_n²=a₁²+（n-1）d=n，
∵a_n＞0，
∴a_n=

n

，
即數列{a_n}的通項公式a_n=

n

；
（Ⅱ）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

；
則數列{b_n}的前項和T_n=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1；
則lg（T_n+1）=lg（

n+1

-1+1）=lg

n+1

，
則lg（T_n+1）的取值范圍為{m|m=lg

n+1

，n∈N^•}

點評：本題主要考查等差數列的應用，以及數列求和，利用分母有理化進的方法是解決本題的關鍵．