Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由題意得出在定義域上恒成立，即，

設(shè)，則，由此利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最值，即可求解；

（2）由（1）知，由函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，推導(dǎo)出∴ ，設(shè)，則，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可作出求解.

詳解：（1）∵在上是減函數(shù)，

∴在定義域上恒成立，

∴，

設(shè)，則，

由，得，由，得，

∴函數(shù)在上遞增，在上遞減，

∴，∴.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

證明：（2）由（1）知，

∵函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，

∴，

則，∴，

∴ ，

設(shè)，則，

要證，

只需證，只需證，只需證，

構(gòu)造函數(shù)，則，

∴在上遞增，

∴，即，

∴.