Question

16．以邊長(zhǎng)為4的等比三角形ABC的頂點(diǎn)A以及BC邊的中點(diǎn)D為左、右焦點(diǎn)的橢圓過B，C兩點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)D且x軸不垂直的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證直線BM與CN的交點(diǎn)在一條直線上．

Answer 1

分析 （1）由題意可知兩焦點(diǎn)為$（-\sqrt{3}，0）$，$（\sqrt{3}，0）$，且2a=6，b²=a²-c²．解出即可得出．
（2）（i）當(dāng)MN不與x軸重合時(shí)，設(shè)MN的方程為x=my+$\sqrt{3}$，且B$（\sqrt{3}，2）$，C$（\sqrt{3}，-2）$，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立橢圓與直線MN方程可得：（2m²+3）y²+4$\sqrt{3}$my-12=0，BM：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$$（x-\sqrt{3}）$，CN：y+2=$\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$$（x-\sqrt{3}）$．相減化為：4=（x-$\sqrt{3}$）$\frac{2{y}_{1}+2{y}_{2}}{m{y}_{1}{y}_{2}}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得x．
（ii）當(dāng)MN與x軸重合時(shí)，即MN的方程為x=0，即M（3，0），N（-3，0）．可得BM：y-2=$\frac{-2}{3-\sqrt{3}}（x-\sqrt{3}）$，CN：y+2=$\frac{2}{-3-\sqrt{3}}$（x-$\sqrt{3}$），聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可知兩焦點(diǎn)為$（-\sqrt{3}，0）$，$（\sqrt{3}，0）$，且2a=6，解得a=3．
∴b²=a²-c²=6．
因此橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
（2）（i）當(dāng)MN不與x軸重合時(shí)，
設(shè)MN的方程為x=my+$\sqrt{3}$，且B$（\sqrt{3}，2）$，C$（\sqrt{3}，-2）$，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立橢圓與直線MN：$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{3}}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}-18=0}\end{array}\right.$，消去x可得：（2m²+3）y²+4$\sqrt{3}$my-12=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4\sqrt{3}m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-12}{2{m}^{2}+3}$．
則BM：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$$（x-\sqrt{3}）$，①
CN：y+2=$\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$$（x-\sqrt{3}）$       ②
②-①得：4=（x-$\sqrt{3}$）$（\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}-\sqrt{3}}-\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\sqrt{3}}）$，
4=（x-$\sqrt{3}$）×$\frac{m{y}_{1}（{y}_{2}+2）-m{y}_{2}（{y}_{1}-2）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}}$，
4=（x-$\sqrt{3}$）$\frac{2{y}_{1}+2{y}_{2}}{m{y}_{1}{y}_{2}}$，
4=（x-$\sqrt{3}$）$\frac{\frac{-8\sqrt{3}m}{2{m}^{2}+3}}{\frac{-12m}{2{m}^{2}+3}}$，4=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$（x-\sqrt{3}）$，解得x=3$\sqrt{3}$．
（ii）當(dāng)MN與x軸重合時(shí)，即MN的方程為x=0，即M（3，0），N（-3，0）．
即BM：y-2=$\frac{-2}{3-\sqrt{3}}（x-\sqrt{3}）$     ①
CN：y+2=$\frac{2}{-3-\sqrt{3}}$（x-$\sqrt{3}$）      ②
聯(lián)立①和②消去y可得：x=3$\sqrt{3}$．
綜上BM與CN的交點(diǎn)在直線x=3$\sqrt{3}$上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．