Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，則a₅的值為（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{2}{11}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列第5項(xiàng)得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+1$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，又$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{5}}=\frac{1}{2}+1×（5-1）=\frac{9}{2}$，
∴${a}_{5}=\frac{2}{9}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．