Question

1．如圖所示，已知點(diǎn)A（1，0），D（-1，0），點(diǎn)B，C在單位圓O上，且∠BOC=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若點(diǎn)B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos∠AOC的值；
（Ⅱ）設(shè)∠AOB=x（0＜x＜$\frac{2π}{3}$），四邊形ABCD的周長(zhǎng)為y，將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)的定義，寫(xiě)出cos∠AOB與sin∠AOB的值，再計(jì)算cos∠AOC的值；
（Ⅱ）根據(jù)等腰三角形的知識(shí)，求出|AB|、|CD|的值，再寫(xiě)出函數(shù)y的解析式，求出y的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$；
∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）
=cos∠AOBcos∠BOC-sin∠AOBsin∠BOC
=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；…（4分）
（Ⅱ） 等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin$\frac{x}{2}$=2sin$\frac{x}{2}$，
等腰三角形COD中，求得
|CD|=2|OC|sin$\frac{\frac{2π}{3}-x}{2}$=2sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）；…（8分）
∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|
=3+2sin$\frac{x}{2}$+2sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）
=3+2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）；…（10分）
由0＜x＜$\frac{2π}{3}$得，當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，y取得最大值5．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義與三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等腰三角形與三角函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．