Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，設(shè)函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，數(shù)列{b_n}滿足b_n=f（a_n），記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）記c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，進(jìn)一步得到數(shù)列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)a₁=1的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，代入b_n=f（a_n），得{b_n}為等差數(shù)列，則{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n可求；
（Ⅱ）把a(bǔ)_n，b_n代入c_n=a_n•b_n，由作差法可得單調(diào)性，利用單調(diào)性求得c_n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2-a_n，得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2-a_n=（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
則數(shù)列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)a₁=1的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴b_n=f（a_n）=n-1，
則${T}_{n}=\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{n}^{2}-n}{2}$；
（Ⅱ） c_n=a_n•b_n=（n=1）$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
由c_n+1-c_n=$n（\frac{1}{2}）^{n}-（n-1）（\frac{1}{2}）^{n-1}=（2-n）（\frac{1}{2}）^{n}$．
當(dāng)n=1時(shí)，c₂＞c₁；
當(dāng)n=2時(shí)，c₃=c₂；
當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1＞c_n．
∴${（{c_n}）_{max}}={c_2}={c_3}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．