Question

13．在下列給出的命題中，所有正確命題的序號(hào)為①②③．
①函數(shù)y=2x³+3x-1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱；
②對(duì)?x，y∈R．若x+y≠0，則x≠1或y≠-1；
③若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則$\frac{y}{x+2}$的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
④若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB．
⑤在△ABC中，BC=5，G，O分別為△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，則△ABC的形狀是直角三角形．

Answer 1

分析 ①根據(jù)對(duì)稱性等函數(shù)的性質(zhì)判斷
②由對(duì)全稱量詞的否定來判斷命題真假，
③利用函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，可以得到正確的結(jié)論．
④結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可
⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，運(yùn)用重心和外心的性質(zhì)，運(yùn)用向量的三角形法則和中點(diǎn)的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，

解答 解：對(duì)于①函數(shù)y=2x³-3x+1=的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱，假設(shè)點(diǎn)（x₀，y₀）在函數(shù)圖象上，則其關(guān)于①點(diǎn)（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)為（-x₀，2-y₀）也滿足函數(shù)的解析式，則①正確；
對(duì)于②對(duì)?x，y∈R，若x+y≠0，對(duì)應(yīng)的是直線y=-x以外的點(diǎn)，則x≠1，或y≠-1，②正確；
對(duì)于③若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則$\frac{y}{x+2}$=$\frac{y-0}{x-（-2）}$，可以看作是圓x²+y²=1上的點(diǎn)與點(diǎn)（-2，0）連線的斜率，其最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正確；
對(duì)于④若△ABC為銳角三角形，則A，B，π-A-B都是銳角，
即π-A-B＜$\frac{π}{2}$，即A+B＞$\frac{π}{2}$，B＞$\frac{π}{2}$-A，
則cosB＜cos（$\frac{π}{2}$-A），
即cosB＜sinA，故④不正確．
對(duì)于⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，
取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，如圖：則OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$|，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}=5$
則$（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}）•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{6}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{BC}=5$，
即$-\frac{1}{6}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）=5$
則${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$
又BC=5
則有$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{6}{5}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}＞|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C為鈍角．
則三角形ABC為鈍角三角形；⑤不正確．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、命題真假的判斷等，使用了數(shù)形結(jié)合的思想，是數(shù)學(xué)中的常見思想，要加深體會(huì)．難度較大