Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若函數(shù)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）代入，得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；

（2）現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)，函數(shù)既有極大值又有極小值，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，可分和兩種情況分類(lèi)討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，得到函數(shù)有極大值和極小值的條件，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>.

，令，可得.

列表：

	-	0	+
		極小值

所以，函數(shù)的最小值為.

（2），定義域?yàn)?/span>，.

記，，，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)，函數(shù)在上至多存在一個(gè)極小值，不存在極大值，不符題意；

②當(dāng)時(shí)，令，可得，列表：

	+	0	-
		極大值

若，即，，即，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上不存在極值，與題意不符，

若，即時(shí)，

由于，且 ，

故存在，使得，即，

且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取極小值.

由于，且 （事實(shí)上，令， ，故在上單調(diào)遞增，所以）.

故存在，使得，即，

且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取極大值.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上既有極大值又有極小值.