Question

如圖所示，多面體EF﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，四邊形ACFE為矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°
（1）求證：BC⊥AF
（2）求平面BDF與平面CDF所成夾角的余弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

本試題主要考查了立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明以及二面角平面角的求解的綜合運(yùn)用。(1) ∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC
又∵BC⊥AC   ∴BC⊥平面ACFE
又∵AF平面ACFE   ∴BC⊥AF
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求解平面的法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)量積
的性質(zhì)得到夾角的求解。
（1）證明：
∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC
又∵BC⊥AC   ∴BC⊥平面ACFE
又∵AF平面ACFE   ∴BC⊥AF
方法二：建系后用向量證之（略）
（2）解：由已知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CF所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF
∵AD＝DC＝BC＝CF＝1，∠ADC＝120°
∴AC＝BD＝，OC＝，
即B（0，1，0），D（，，0），F(xiàn)（0，0，1）
∴＝（，，－1），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）
設(shè)平面BDF的法向量為＝（x，y，z）

令z＝1，則y＝1，x＝，∴＝（，1，1）
設(shè)平面CDF的法向量為＝（x，y，z）

令x＝1，則y＝，z＝0，∴＝（1，，0）
設(shè)平面BDF與平面CDF的夾角為α