Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2e}^{x}}{1{+x}^{2}}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若m＞4（ln2-1）．求證：當x＞0時，f（x）＞$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．

Answer 1

分析 作差，即f（x）-$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，證明h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可證得結(jié)論．

解答 證明：∵f（x）=$\frac{{2e}^{x}}{1{+x}^{2}}$，
∴f（x）-$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$=$\frac{{2e}^{x}-{2x}^{2}+mx-2}{1{+x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
設(shè)g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，
令g′（x）＜0，則0＜ln2；令g′（x）＞0，則x＞ln2；
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）上單調(diào)減，在（ln2，+∞）上單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，
∵1+x²＞0，∴$\frac{{2e}^{x}-{2x}^{2}+mx-2}{1{+x}^{2}}$＞0，
∴f（x）＞$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查函數(shù)思想的運用，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．