Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，-$\frac{π}{3}$），直線l的極坐  標(biāo)方程為ρcos（$\frac{π}{3}$+θ）=6．
（Ⅰ）求點(diǎn)P到直線l的距離；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q在曲線C上，求點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點(diǎn)P與直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
（Ⅱ）可以判斷，直線l與曲線C無公共點(diǎn)，設(shè)$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，利用點(diǎn)到直線的距離公式及其三角函數(shù)的和差公式及其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)$P（{2，-\frac{π}{3}}）$的直角坐標(biāo)為$（2cos（-\frac{π}{3}），2sin（-\frac{π}{3}））$，即$（{1，-\sqrt{3}}）$．
由直線l $ρcos（{\frac{π}{3}+θ}）=6$，得$\frac{1}{2}ρ（{cosθ-\sqrt{3}sinθ}）=6$．
則l的直角坐標(biāo)方程為：$x-\sqrt{3}y-12=0$，
點(diǎn)P到l的距離$d=\frac{{|{1+3-12}|}}{2}=4$．
（Ⅱ）可以判斷，直線l與曲線C無公共點(diǎn)，
設(shè)$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，
則點(diǎn)Q到直線$x-\sqrt{3}y-12=0$的距離為$d=\frac{{|{3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12}|}}{2}=\frac{{|{6cos（{θ+\frac{π}{6}}）-12}|}}{2}$，
∴當(dāng)$cos（{θ+\frac{π}{6}}）=-1$時(shí)，d_max=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的和差公式及其單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．