Question

3．設(shè)a，b是正奇數(shù)，數(shù)列{c_n}（n∈N^*）定義如下：c₁=a，c₂=b，對(duì)任意n≥3，c_n是c_n-1+c_n-2的最大奇約數(shù)．?dāng)?shù)列{c_n}中的所有項(xiàng)構(gòu)成集合A．
（Ⅰ）若a=9，b=15，寫(xiě)出集合A；
（Ⅱ）對(duì)k≥1，令d_k=max{c_2k，c_2k-1}（max{p，q}表示p，q中的較大值），求證：d_k+1≤d_k；
（Ⅲ）證明集合A是有限集，并寫(xiě)出集合A中的最小數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列舉法寫(xiě)出數(shù)列{c_n}，易得集合A；
（Ⅱ）由題設(shè)，對(duì)n≥3，c_n-2，c_n-1都是奇數(shù)，所以c_n-1+c_n-2是偶數(shù)．從而c_n-1+c_n-2的最大奇約數(shù)${c_n}≤\frac{{{c_{n-1}}+{c_{n-2}}}}{2}$，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（Ⅲ）有限集是指元素的個(gè)數(shù)是有限個(gè)的集合，從而確定答案．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{c_n}為：9，15，3，9，3，3，3，…．
故集合A={9，15，3}．                          
（Ⅱ）證明：由題設(shè)，對(duì)n≥3，c_n-2，c_n-1都是奇數(shù)，所以c_n-1+c_n-2是偶數(shù)．
從而c_n-1+c_n-2的最大奇約數(shù)${c_n}≤\frac{{{c_{n-1}}+{c_{n-2}}}}{2}$，
所以c_n≤max{c_n-1，c_n-2}，當(dāng)且僅當(dāng)c_n-1=c_n-2時(shí)等號(hào)成立．
所以，對(duì)k≥1有c_2k+1≤max{c_2k，c_2k-1}=d_k，
且c_2k+2≤max{c_2k+1，c_2k}≤max{d_k，d_k}=d_k．
所以d_k+1=max{c_2k+2，c_2k+1}≤d_k，當(dāng)且僅當(dāng)c_2k=c_2k-1時(shí)等號(hào)成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)n≥3時(shí)，有c_n≤max{c_n-1，c_n-2}．
所以對(duì)n≥3，有c_n≤max{c₁，c₂}=max{a，b}．
又c_n是正奇數(shù)，且不超過(guò)max{a，b}的正奇數(shù)是有限的，
所以數(shù)列{c_n}中的不同項(xiàng)是有限的．
所以集合A是有限集．
集合A中的最小數(shù)是a，b的最大公約數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的表示方法，難度較大．