【題目】已知函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若x≥1,f(x)≤kx恒成立,求k的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,,無極大值.(2)k≥1.
【解析】
(1)可由切線方程求得a與b的值,再還原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過分類討論得出函數(shù)的增減性
(2)可通過分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)的方法將參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解
解:(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),,
故f′(1)=b-a=1,
又f(1)=a,點(diǎn)(1,a)在直線y=x上,
∴a=1,則b=2.
∴且,,
當(dāng)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)時(shí),f′(x)>0.
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,
,無極大值.
(2)由題意知,恒成立,
令,
則,
令h(x)=x-xlnx-1(x≥1),
則h′(x)=-lnx(x≥1),
當(dāng)x≥1時(shí),h′(x)≤0,h(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),
故h(x)≤h(1)=0,故g′(x)≤0,
∴g(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),
故g(x)的最大值為g(1)=1,∴k≥1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為矩形,,,,、分別為線段、上一點(diǎn),且,.
(1)證明:;
(2)證明:平面,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為上位于第一象限的任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn).
(1)若當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且為等邊三角形,求的方程;
(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線,若點(diǎn),記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,交軸于點(diǎn),且,求證:點(diǎn)的坐標(biāo)為,并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程是,(為參數(shù)).
(1)求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng);
(2)從極點(diǎn)作曲線C的弦,求各弦中點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程是,(為參數(shù)).
(1)求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng);
(2)從極點(diǎn)作曲線C的弦,求各弦中點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下:
8 | 9 | 10 | |
0.4 | 0.4 | 0.2 |
現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,且兩次射擊互不影響,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī),記為.
(1)求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率;
(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo).為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展,不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì),九江市某校高二年級(jí)開設(shè)了《心理健康》選修課,學(xué)分為2分.學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時(shí)上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評(píng)價(jià),獲得“合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予50分的平時(shí)分,獲得“不合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予30分的平時(shí)分,另外還將進(jìn)行一次測(cè)驗(yàn).學(xué)生將以“平時(shí)分×40%+測(cè)驗(yàn)分×80%”作為“最終得分”,“最終得分”不少于60分者獲得學(xué)分.
該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時(shí)份及測(cè)驗(yàn)分結(jié)果如下:
測(cè)驗(yàn)分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
平時(shí)分50分人數(shù) | 0 | 3 | 4 | 4 | 2 | ||
平時(shí)分30分人數(shù) | 1 | 0 | 0 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表,并分析是否有95%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測(cè)驗(yàn)分是否達(dá)到60分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)?
選修人數(shù) | 測(cè)驗(yàn)分 達(dá)到60分 | 測(cè)驗(yàn)分 未達(dá)到60分 | 合計(jì) |
平時(shí)分50分 | |||
平時(shí)分30分 | |||
合計(jì) |
(2)若從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求該生獲得學(xué)分的概率.
附:,其中
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋中的球取完即終止.若摸出白球,則記2分,若摸出黑球,則記1分.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.
(1)求袋中白球的個(gè)數(shù);
(2)用表示甲,乙最終得分差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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