Question

1．已知函數(shù)f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）對任意x₁，x₂∈[0，1]，f（x₂）-f（x₁）≤a+1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-1）（ae^x-1），對a討論，分a≤0時，a=$\frac{1}{e}$時，a＞$\frac{1}{e}$時，0＜a＜$\frac{1}{e}$時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間；
（3）通過討論a的范圍，確定函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解關(guān)于a的不等式，求出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=a（e^x+xe^x）-2ae^x-x+1=（x-1）（ae^x-1），
可得f（x）在（2，f（2））處切線斜率為ae²-1，切點為（2，0），
即有切線的方程為y-0=（ae²-1）（x-2），
即為y=（ae²-1）（x-2）；
（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-1）（ae^x-1），
①當(dāng)a=0時，f′（x）=-（x-1），
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
②當(dāng)a＜0時，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
③當(dāng)a＞0時，若a=$\frac{1}{e}$，則f′（x）=（x-1）（e^x-1-1），
f（x）在R上遞增；
若a＞$\frac{1}{e}$，則f′（x）＞0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＞1或x＜ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得ln$\frac{1}{a}$＜x＜1；
若0＜a＜$\frac{1}{e}$，則f′（x）＞0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＜1或x＞ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得1＜x＜ln$\frac{1}{a}$．
綜上可得，a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
a=$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為R；
a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，ln$\frac{1}{a}$），
減區(qū)間為（ln$\frac{1}{a}$，1）；
0＜a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為（ln$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，1），減區(qū)間為（1，ln$\frac{1}{a}$）；
（3）由（2）得：①a≤0時，f（x）在[0，1]遞增，
f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，f（x）_min=f（0）=-2a，
∴$\frac{1}{2}$-ae+2a≤a+1，解得：$\frac{1}{2（1-e）}$≤a≤0，
②0＜a≤$\frac{1}{e}$時，ln$\frac{1}{a}$＞1，∴f（x）在[0，1]遞增，
f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，f（x）_min=f（0）=-2a，
∴$\frac{1}{2}$-ae+2a≤a+1，解得：$\frac{1}{2（1-e）}$≤a，故0＜a≤$\frac{1}{e}$符合題意，
③$\frac{1}{e}$＜a＜1時，0＜ln$\frac{1}{a}$＜1，f（x）在[0，ln$\frac{1}{a}$）遞增，在（ln$\frac{1}{a}$，1]遞減，
而f（1）-f（0）=$\frac{1}{2}$+a（2-e）＜0，∴f（x）_max=f（ln$\frac{1}{a}$）=，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，
∴2ln$\frac{1}{a}$-2-$\frac{1}{2}$${（ln\frac{1}{a}）}^{2}$+ae-$\frac{1}{2}$）≤a+1，不等式無解，
④a≥1時，f（x）在[0，1]遞減，
∴f（x）_max=f（0）=-2a，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$-ae，
∴-2a+ae-$\frac{1}{2}$≤a+1，解得：a≥-$\frac{3}{2（3-e）}$，
綜上，a∈[$\frac{1}{2（1-e）}$，$\frac{1}{e}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，是一道綜合題．