Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a﹣2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

又

所以f（x）為奇函數(shù)

（2）解：由（1）及題設(shè)知： ，設(shè) ，

∴當x1＞x2＞1時， ∴t1＜t2．

當a＞1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：①當n＜a﹣2≤﹣1時，有0＜a＜1．

由（2）可知：f（x）在（n，a﹣2）為增函數(shù)，

由其值域為（1，+∞）知 ，無解

②當1≤n＜a﹣2時，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，

由其值域為（1，+∞）知

得 ，n=1

【解析】（1）先求函數(shù)的定義域看是否關(guān)于原點對稱，然后在用奇偶函數(shù)的定義判斷，要注意到代入﹣x時，真數(shù)是原來的倒數(shù)，這樣就不難并判斷奇偶性．（2）用單調(diào)性的定義進行證明，首先在所給的區(qū)間上任取兩個自變量看真數(shù)的大小關(guān)系，然后在根據(jù)底的不同判斷函數(shù)單調(diào)性．（3）要根據(jù)第二問的結(jié)論，進行分類討論，解出兩種情況下的實數(shù)a與n的值．