【題目】已知函數(shù), .

(1)求函數(shù)的極值;

(2)當(dāng)時,若直線 與曲線沒有公共點,求的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)時,函數(shù)無極值;當(dāng)時, 有極小值為,無極大值.

(2).

【解析】試題分析:(1)求得,可分兩種情況分類討論,得出函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的極值;

(2)當(dāng)時,把直線 與曲線沒有公共點,等價于關(guān)于的方程上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程上沒有實數(shù)解,即上沒有實數(shù)解,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值,即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析:

(1)定義域為, .

①當(dāng)時, , 上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.

②當(dāng)時,令,解得.

當(dāng), 上單調(diào)遞減;

當(dāng) , 上單調(diào)遞增.

處取得極小值,且極小值為,無極小值.

綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極值;

當(dāng)時, 有極小值為,無極大值.

(2)當(dāng)時, ,

直線 與曲線沒有公共點,等價于關(guān)于的方程

上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程上沒有實數(shù)解,

上沒有實數(shù)解.

,則有.令,解得,

當(dāng)變化時, , 的變化情況如下表:

且當(dāng)時, ; 時, 的最大值為;當(dāng)時,

從而的取值范圍為.

所以當(dāng)時,方程無實數(shù)解,

解得的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某次電影展映活動中,展映的影片有科幻片和文藝片兩種類型,統(tǒng)計一隨機抽樣調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)顯示,100名男性觀眾中選擇科幻片的有60名,女性觀眾中有的選擇文藝片,選擇文藝片的觀眾中男性觀眾和女性觀眾一樣多.

(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表

(Ⅱ)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為選擇影片類型與性別有關(guān)?

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,求證;

(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.

(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點,若直線與曲線交于, 兩點,且,求實數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:

題號

1

2

3

4

5

考前預(yù)估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后,從中隨機抽取了10名學(xué)生,將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):

學(xué)生編號 題號

1

2

3

4

5

1

×

2

×

3

×

4

×

×

5

6

×

×

×

7

×

×

8

×

×

×

×

9

×

×

×

10

×

(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表,并估計這120名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);

題號

1

2

3

4

5

實測答對人數(shù)

實測難度

(Ⅱ)從編號為155人中隨機抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;

Ⅲ)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度, 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細心程度的關(guān)系,在本校隨機調(diào)查了100名學(xué)生進行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細心,另外15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細心,另外30人比較粗心.

(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;

數(shù)學(xué)成績及格

數(shù)學(xué)成績不及格

合計

比較細心

45

比較粗心

合計

60

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細心程度有關(guān)系?

參考數(shù)據(jù):獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(A)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 是曲線上的動點, 為線段的中點,設(shè)點的軌跡為曲線.

(1)求的坐標(biāo)方程;

(2)若射線與曲線異于極點的交點為,與曲線異于極點的交點為,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(2)若,求證: 有唯一零點的充要條件是.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“中國式過馬路” 存在很大的交通安全隱患,某調(diào)查機構(gòu)為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān),從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調(diào)查,得到了如圖的列聯(lián)表.已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.

(1)求列聯(lián)表中的的值;
(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),判斷是否有把握認為反感“中國式過馬路”與性別有關(guān)?

參考公式:,

臨界值表:

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