Question

14．已知拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，E（x₀，0）是x軸上的點(diǎn)，直線l經(jīng)過M與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₀=5，求證：點(diǎn)E在以線段AB為直徑的圓上；
（Ⅱ）設(shè)A，B都在以點(diǎn)E為圓心的圓上，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得M坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得k的范圍．再設(shè)A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），由已知求得A，B橫坐標(biāo)的和與積，由向量$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=0$可證點(diǎn)E在以線段AB為直徑的圓上；
（Ⅱ）由A、B都在以點(diǎn)E為圓心的圓上，得|EA|=|EB|，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合|EA|=|EB|，得DE⊥AB即
k_DE•k=-1，解得${x}_{0}=1+\frac{2}{{k}^{2}}$結(jié)合（Ⅰ）中求得的k的范圍得x₀的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：由已知得M（-1，0），直線l的斜率存在，設(shè)為k，則k≠0，且l的方程為y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0．
由直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)得，△=4（k²-2）²-4k⁴＞0，解得k²＜1．
∴0＜k²＜1．
設(shè)A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（2-{k}^{2}）}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
當(dāng)$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₀=5時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=6}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，則E（5，0），
$A（{x}_{1}，\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{2}}{2}），B（{x}_{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{EA}=（{x}_{1}-5$，$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（x₂-5，$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}={x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+25+\frac{1}{2}$[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]=0．
∴$\overrightarrow{EA}⊥\overrightarrow{EB}$，即EA⊥EB．
∴點(diǎn)E在以線段AB為直徑的圓上；
（Ⅱ）解：∵A、B都在以點(diǎn)E為圓心的圓上，∴|EA|=|EB|．
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則D（$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}$），
∵|EA|=|EB|，∴DE⊥AB．
∵k≠0，∴k_DE•k=-1，解得：${x}_{0}=1+\frac{2}{{k}^{2}}$．
∵0＜k²＜1，∴$1+\frac{2}{{k}^{2}}＞3$．
∴x₀的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．