Question

14．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，則曲線C上的點到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的最短距離是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程可得圓心C，半徑r．由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：$\sqrt{3}$x+y-5=0．求出圓心C到直線l的距離d．即可得出要求的最短距離為d-r．

解答 解：曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2y，配方為：x²+（y-1）²=1．
可得圓心C（0，1），半徑r=1．
由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：$\sqrt{3}$x+y-5=0．
則圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0+1-5|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=2．
∴曲線C上的點到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的最短距離是d-r=2-1=1．
故選：D．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．