Question

4．在數列{a_n}中，首項不為零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），S_n為{a_n}的前n項和，令T_n=$\frac{10{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，則T_n的最大值為2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}中，首項不為零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），數列{a_n}為等比數列，首項為a₁，公比為$\sqrt{3}$．利用等比數列的通項公式與求和公式可得a_n+1，S_n，S_2n，代入T_n化簡利用數列的單調性即可得出．

解答 解：數列{a_n}中，首項不為零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴數列{a_n}為等比數列，首項為a₁，公比為$\sqrt{3}$．
∴${a}_{n}={a}_{1}（\sqrt{3}）^{n-1}$，${a}_{n+1}={a}_{1}（\sqrt{3}）^{n}$．
S_n=$\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{n}-1]}{\sqrt{3}-1}$，S_2n=$\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{2n}-1]}{\sqrt{3}-1}$，
T_n=$\frac{10{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{10{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{n}-1]}{\sqrt{3}-1}-\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{2n}-1]}{\sqrt{3}-1}}{{a}_{1}（\sqrt{3}）^{n}}$=$\frac{-（\sqrt{3}）^{2n}+10（\sqrt{3}）^{n}-9}{（\sqrt{3}）^{n}（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{10-[（\sqrt{3}）^{n}+\frac{9}{（\sqrt{3}）^{n}}]}{\sqrt{3}-1}$≤$\frac{10-2\sqrt{9}}{\sqrt{3}-1}$=2（$\sqrt{3}+1$），當且僅當n=2時取等號．
∴T_n的最大值為2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等比數列的定義通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．