【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)當(dāng)時(shí),,f(1)=1
(1)求f(0),f(3)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(3)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>2對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)令,求解,通過,求解即可得出結(jié)論;(2)在上是增函數(shù),通過任取,且,則,且,證明,得到結(jié)果;(3)由對(duì)任意恒成立,得恒成立,利用函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化求解即可.
(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
由f(1)=1,得f(2)=f(1)+f(1)=1+1=2,
f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3.
(2)f(x)在R上是增函數(shù),證明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,且f(x2-x1)>0,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函數(shù).
(3)由f(4x-a)+f(6+2x+1)>2對(duì)任意x∈R恒成立,
得f(4x-a+6+2x+1)>f(2)恒成立.
因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),所以4x-a+6+2x+1>2恒成立,
即4x+22x+4>a恒成立
令g(x)=4x+22x+4=(2x+1)2+3,
因?yàn)?x>0,所以g(x)>4
故a≤4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 +y2=1,A,B,C,D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AC,BD相交于原點(diǎn)O,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 = .
(1)求證: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否為定值,若是,請(qǐng)求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
與的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時(shí),
由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上,當(dāng)時(shí),的最小值為;
當(dāng)時(shí),的最小值為;
當(dāng)時(shí),的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若點(diǎn)在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí), .現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象,如圖所示,并根據(jù)圖象:
(1)直接寫出函數(shù), 的增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),f(x)=x2-2x
(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)求使f(x)=1時(shí)的x的值.
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【題目】為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x單位:小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系:
時(shí)間x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
命中率y | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
(1)求小李這5天的平均投籃命中率;
(2)用線性回歸分析的方法,預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率. .
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值. 記的最小值為,求函數(shù)的值域.
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【題目】如圖,在多面體中,底面為正方形,四邊形是矩形,平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若過直線的一個(gè)平面與線段和分別相交于點(diǎn)和 (點(diǎn)與點(diǎn)均不重合),求證: ;
(3)判斷線段上是否存在一點(diǎn),使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,若直線的斜率為1,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為, 的周長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線(直線的斜率不為1)與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)的上方,若,求直線的斜率.
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