Question

3．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的最大值為1，則實數(shù)b=$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在[-$\frac{1}{2}$，1]上的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，由最大值為1求出b的值．

解答 解：∵f（x）=-x³+x²+b，∴f′（x）=-3x²+2x，由f′（x）=0，得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{2}{3}$，
∴當0＜x＜$\frac{2}{3}$時，f′（x）＞0；
當x＜0或＞$\frac{2}{3}$時，f′（x）＜0．
∴f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，0]上為減函數(shù)，在[$\frac{2}{3}，1$]上為減函數(shù)，在[0，$\frac{2}{3}$]上為增函數(shù)．
而f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+b=\frac{3}{8}+b$，f（$\frac{2}{3}$）=$-\frac{8}{27}+\frac{4}{9}+b=\frac{4}{27}+b$，且$\frac{3}{8}+b＞\frac{4}{27}+b$，
∴$\frac{3}{8}+b=1$，則b=$\frac{5}{8}$．
故答案為：$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．