Question

13．（1）已知f（$\frac{1}{x}$）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$（x＞0），求f（x）．
（2）已知f（x）為一次函數(shù)，且f[f（x）]=9x+8，求f（x）；
（3）已知f（x）滿足關(guān)系式（x-1）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x-1}（x≠0，1）$，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用換元法進(jìn)行求解即可求f（x）．
（2）利用待定系數(shù)法即可求f（x）；
（3）利用方程組進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）令t=$\frac{1}{x}$則x=$\frac{1}{t}$則由f（$\frac{1}{x}$）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$（x＞0），
得f（t）=$\frac{1}{t}$+$\sqrt{（\frac{1}{t}）^{2}+1}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{t}$=$\frac{1+\sqrt{{t}^{2}+1}}{t}$，
∴f（x）=$\frac{1+\sqrt{{x}^{2}+1}}{x}$（x＞0）．
（2）∵f（x）為一次函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=kx+b，（k≠0），
∵f[f（x）]=9x+8，
∴f[f（x）]=k²x+kb+b=9x+8，
∴k²=9，kb+b=8
解得k=±3，
當(dāng)k=3時(shí)，4b=8，則b=2，此時(shí)f（x）=3x+2，
當(dāng)k=-3時(shí)，-2b=8，則b=-4，此時(shí)f（x）=-3x-4．
（3）∵（x-1）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x-1}（x≠0，1）$，①
∴（$\frac{1}{x}$-1）f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{x}-1}$=$\frac{1}{\frac{1-x}{x}}$=$\frac{x}{1-x}$，
即$\frac{1-x}{x}$f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{x}{1-x}$，②
①×$\frac{1-x}{x}$-②得$\frac{1-x}{x}$•（x-1）f（x）-f（x）=$\frac{1}{x-1}•\frac{1-x}{x}$-$\frac{x}{1-x}$=-$\frac{1}{x}$-$\frac{x}{1-x}$，
即$\frac{-（x-1）^{2}-x}{x}$f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x（x-1）}$，
即$\frac{-{x}^{2}+x-1}{x}$f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x（x-1）}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{1-x}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，要求熟練掌握換元法，待定系數(shù)法以及方程組法．