Question

13．已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函數(shù)f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx（ω＞0）的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)．
（1）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）若對(duì)?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，有|f（x）-m|≤1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出周期，確定函數(shù)解析式即可求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）由|f（x）-m|≤1可得f（x）-1≤m≤f（x）+1，?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，都有|f（x）-m|≤1，可得f（x）_max=$\frac{3}{4}$，f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx
=$\frac{1+cos（2ωx-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+cos2ωx}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，
∵已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函數(shù)f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx（ω＞0）的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)．
∴函數(shù)的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1，
∴f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2×$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）=$-\frac{9}{4}$．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵對(duì)?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤0，
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{3}{4}$，
即f（x）_max=$\frac{3}{4}$，f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{4}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考察了不等式的解法，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．