Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在，對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得不同情況下的單調(diào)性即可；

（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解該函數(shù)最大值的問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求得結(jié)果即可.

（1）.

令，則，

當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由，得，即.

設(shè)，則恒成立，即.

，

因?yàn)?/span>，則在上，，在上，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴.

存在，使得成立，則.

令，，

∴在上，，在上，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴.

∴的取值范圍為.