Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究；
（2）先換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題來(lái)求解．

解答： 解：（I）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，f（x）=a^x-a^-x
∴f（x）在R上為增函數(shù)，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），故該函數(shù)為奇函數(shù)；                                   
因此原不等式可化為：f（x²+2x）＞f（4-x），結(jié)合單調(diào)性得
x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或x＜4，所以不等式解集為{x|x＞1或x＜4}．
（II）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，解得a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

）                
若m≥

3

2

，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
綜上可知m=2．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性解有些不等式往往能夠?qū)��?wèn)題化繁為簡(jiǎn)，要注意和奇偶性相結(jié)合；涉及到指數(shù)式、對(duì)數(shù)式有關(guān)的稍稍復(fù)雜的不等式要注意能否采用換元法求解．