在實數(shù)集R中定義一種運算“*”,對任意a,b∈R,a*b為唯一確定的實數(shù),且具有性質:
(1)對任意a∈R,a*0=a;
(2)對任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).
關于函數(shù)f(x)=(ex)*
1
ex
的性質,有如下說法:
①函數(shù)f(x)的最小值為3;②函數(shù)f(x)為偶函數(shù);③函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,0].
其中所有正確說法的個數(shù)為( 。
A、0B、1C、2D、3
考點:函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的判斷與證明
專題:綜合題,新定義,函數(shù)的性質及應用
分析:根據(jù)新定義的運算表示出f(x)的解析式,然后逐項研究函數(shù)的性質即可作出判斷.
解答: 解:由定義的運算知,f(x)=)=(ex)*
1
ex
=ex
1
ex
+
ex*0+
1
ex
*0
=1+ex+
1
ex
,
①f(x)=1+ex+
1
ex
≥1+2
ex
1
ex
=3,當且僅當ex=
1
ex
,即x=0時取等號,
∴f(x)的最大值為3,故①正確;
②∵f(-x)=1+e-x+
1
e-x
=1+
1
ex
+ex
=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù),故②正確;
③f'(x)=ex-
1
ex
=
e2x-1
ex

當x≤0時,f′(x)=
e2x-1
ex
≤0,
∴f(x)在(-∞,0]上單調遞減,故③錯誤.
故正確說法的個數(shù)是2,
故選C.
點評:本題是一個新定義運算型問題,考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力.本題的關鍵是對f(x)的化簡.
練習冊系列答案
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1
16
)=
 

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i
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②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
④等差比數(shù)列中可以有無窮多項為0.
其中判斷正確的個數(shù)為( 。
A、1個B、2個C、3個D、4個

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A、3B、4C、6D、8

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B、[-1,4]
C、[-3,2]
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