Question

19．對于函數(shù)f（x），方程f（x）=x的解稱為f（x）的不動點，方程f[f（x）]=x的解稱為f（x）的穩(wěn)定點．
①設(shè)函數(shù)f（x）的不動點的集合為M，穩(wěn)定點的集合為N，則M⊆N；
②函數(shù)f（x）的穩(wěn)定點可能有無數(shù)個；
③當(dāng)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，若x₀是f（x）的穩(wěn)定點，則x₀是f（x）的不動點；
上述三個命題中，所有真命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 若M=∅，則M⊆N顯然成立；若M≠∅，由t∈M，證明t∈N，說明①正確；舉例說明②正確；利用反證法說明③正確．

解答 解：①若M=∅，則M⊆N顯然成立；                       
若M≠∅，設(shè)t∈M，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，
故M⊆N，∴①正確；
②取f（x）=x，則方程f（x）=x的解有無數(shù)個，即不動點有無數(shù)個，
∵不動點一定是穩(wěn)定點，∴函數(shù)f（x）的穩(wěn)定點可能有無數(shù)個，故②正確；
③設(shè)x₀是f（x）的穩(wěn)定點，則f（f（x₀））=x₀，設(shè)f（x₀）＞x₀，f（x）是R上的增函數(shù)，
則f（f（x₀））＞f（x₀），∴x₀＞f（x₀），矛盾；
若x₀＞f（x₀），f（x）是R上的增函數(shù)，
則f（x₀）＞f（f（x₀）），∴f（x₀）＞x₀矛盾．
故f（x₀）=x₀，∴x₀是函數(shù)f（x）的不動點，故③正確．
∴正確命題的序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題．