Question

10．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=2a₁=2，且$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）證明：數(shù)列{a_2n-1+a_2n}為等比數(shù)列；
（2）若存在正實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列{S_n+t}為等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=2a₁=2，可得$\frac{{a}_{n+3}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n}}$，$\frac{{a}_{n+3}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，于是$\frac{{a}_{2n+2}+{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}+{a}_{2n-1}}$=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n-1}}$，另一方面：$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=…=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$，可得a₄=2a₃．又存在正實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列{S_n+t}為等比數(shù)列，可得（3+t）²=（1+t）（3+a₃+t），$（3+{a}_{3}+t）^{2}$=（3+t）（3+a₃+a₄+t），化簡(jiǎn)即可得出．

解答 （1）證明：∵$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=2a₁=2，
∴$\frac{{a}_{n+3}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+3}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{2n+2}+{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}+{a}_{2n-1}}$=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n-1}}$，
另一方面：$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=…=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$，
∴$\frac{{a}_{2n+2}+{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}+{a}_{2n-1}}$=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n-1}}$=…=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_2n-1+a_2n}為等比數(shù)列．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$，∴a₃+a₄=3a₃，可得a₄=2a₃．
又存在正實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列{S_n+t}為等比數(shù)列，
∴（3+t）²=（1+t）（3+a₃+t），$（3+{a}_{3}+t）^{2}$=（3+t）（3+a₃+a₄+t），
可得：6+2t=a₃（1+t），$（3+{a}_{3}+t）^{2}$=（3+t）（3+3a₃+t），化為：a₃=3+t．t＞0．
∴2=1+t，解得t=1．
∴數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列，
∴其前2項(xiàng)為：2，4，
其公比為：q=2，首項(xiàng)為2．
∴S_n+1=2ⁿ，解得：S_n=2ⁿ-1，
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，
∴a_n=2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．