Question

17．已知圓C的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），（1，5）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線3x-4y+4=0截圓C所得弦長(zhǎng)l的值；
（3）從圓C外一點(diǎn)P（a，b）向圓C引切線PT，T為切點(diǎn)，使|PT|=|PO|（O為原點(diǎn)），求|PT|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)，和半徑即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）圓心坐標(biāo)為C（$\frac{1+1}{2}$，$\frac{1+5}{2}$），即C（1，2），2r=|5-1|=4，即半徑r=2，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-3）²=4．
（2）圓心C到直線3x-4y+4=0的距離d=$\frac{|3-4×3+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
則弦長(zhǎng)L=2$\sqrt{{r}^{2}-qwu8a4s^{2}}=2\sqrt{{2}^{2}-{1}^{1}}=2\sqrt{3}$．
（3）∵C（1，3），半徑r=2，
∴作切線PT，連接PC，CT，由平面幾何知識(shí)得|PT|²=|PC|²-|CT|²=（a-1）²+（b-3）²-4，
∵|PT|=|PO|，
∴（a-1）²+（b-3）²-4=a²+b²，
得a+3b-3=0，
|PT|_min=|PO|_min=$\frac{|-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．