Question

2．已知直線l：x=-2，l與x軸交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到直線l的距離比到點(diǎn)N（1，0）的距離大1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡W的方程；
（2）過點(diǎn)A作斜率為k的直線交曲線W于B，C兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，若$\frac{1}{7}$≤λ≤1，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線定義“到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡”求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；
（2）直線l方程為y=kx+2，代入曲線方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，可求直線斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到直線x=-2的距離比它到點(diǎn)N（1，0）的距離大1，
所以動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離與它到點(diǎn)F（1，0）的距離相等，
故所求軌跡為：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y²=4x．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則y${\;}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}$=4x₂，
∴$\overrightarrow{AB}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{BC}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
由$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$可得：y₁=2（y₂-y₁），即$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{9}{4}$…①
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），（k≠0），可得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去y，得：k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=$\frac{4-4{k}^{2}}{{k}^{2}}$…②
x₁x₂=4…③
由①③，得x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=3，代入②，得k²=$\frac{12}{25}$，
所以k=±$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基本知識的考查．