Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且 f（x）在（0，+∞）單調遞增，若f（1）=0，則不等式f（x+1）．f（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以先對函數f（x）的性質進行研究，再將所求不等式轉化為不等式組，解不等式組，得到本題結論．

解答： 解：∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數y=f（x）的圖象關于原點對稱．
∵f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∴函數y=f（x）的圖象過點（1，0），（-1，0）．
∵f（x）在（0，+∞）單調遞增，
∴f（x）在（-∞，0）單調遞增．
∵不等式f（x+1）．f（x）＜0，
∴

f(x+1)＞0 f(x)＜0

或

f(x+1)＜0 f(x)＞0

，
∴

-1＜x+1＜0或x+1＞1 x＜-1或0＜x＜1

或

x+1＜-1或0＜x+1＜1 -1＜x＜0或x＞1

，
∴-2＜x＜-1或0＜x＜1或-1＜x＜0，
∴x∈（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．
故答案為：（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查了函數的性質與圖象的關系，還考查了不等式的解法，本題難度不大，屬于基礎題．