考點(diǎn):數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,利用對數(shù)運(yùn)算法則能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)對n分奇數(shù)與偶數(shù)討論,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分離參數(shù)、基本不等式的性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:
解:(1)∵數(shù)列{a
n}中,a
1=
,
=
,
∴{a
n}是首項(xiàng)為
,公比為
的等比數(shù)列,
∴a
n=
()n.
∴b
n+2=3log
a
n=
3log()n=3n,
∴b
n=3n-2.
(2)由(1)知,a
n=(
)
n,b
n=3n-2,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
S
n=b
1b
2-b
2b
3+b
3b
4-…+b
n-1b
n-b
nb
n+1=b
2(b
1-b
3)+b
4(b
3-b
5)+…+b
n(b
n-1-b
n+1)
=-6(b
2+b
4+…+b
n)
=-6•
=-
n(3n+2)≥tn
2,
即t≤-
(3+
)對n取任意正偶數(shù)都成立.
∴t≤-6.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),偶數(shù)時(shí),
S
n=b
1b
2-b
2b
3+b
3b
4-…+b
n-1b
n-b
nb
n+1=-
(n-1)[3(n-1)+2]+(3n-2)(3n+1)
=
n2+3n->0,
對t≤-6時(shí),S
n≥tn
2恒成立,
綜上:t≤-6.
點(diǎn)評:本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法,考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.