Question

7．已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f[f（x）-x³]=10，函數(shù)g（x）=f（x）-3x+a，則當(dāng)函數(shù)g（x）有3個零點時，a的取值范圍為（　�。�

• A． （-4，0）
• B． [0，4]
• C． （-6，0）
• D． [0，6]

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，即可得出g（x）的解析式，得出g（x）的極值，根據(jù)零點個數(shù)判斷g（x）的極值與0的大小關(guān)系，列不等式組解出a的范圍．

解答 解：設(shè)f（x₀）=10，則f（x）-x³=x₀，即f（x）=x³+x₀，
∴f（x₀）=x₀³+x₀=10，∴x₀=2，
∴f（x）=x³+2．
∴g（x）=x³-3x+a+2，令g′（x）=3x²-3=0得x=±1，
當(dāng)x＜-1或x＞1時，g′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1時，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-1時，g（x）取得極大值g（-1）=4+a，當(dāng)x=1時，g（x）取得極小值g（1）=a．
∵函數(shù)g（x）有3個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜0．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點個數(shù)判斷，屬于中檔題．