Question

16．已知△ABC的三條邊分別為a，b，c．用分析法證明：$\frac{\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}$＜$\frac{a+b}{1+a+b}$．

Answer 1

分析 利用分析法即可證明，注意應(yīng)用a²+b²+ab=$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$\frac{3}{4}$b²＞0．

解答 證明　依題意a＞0，b＞0，∴1+$\sqrt{ab}$＞0，1+a+b＞0，
要證$\frac{\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}$＜$\frac{a+b}{1+a+b}$，
只需證$\sqrt{ab}$（1+a+b）＜（1+$\sqrt{ab}$）（a+b），
只需證$\sqrt{ab}$＜a+b，只需證ab＜（a+b）²，
只需證a²+b²+ab＞0，
∵a²+b²+ab=$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$\frac{3}{4}$b²＞0成立，
∴$\frac{\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}$＜$\frac{a+b}{1+a+b}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用分析法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．