Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＜x，則不等式（x+6）²f（x+6）-f（-1）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-6）
• B． （-∞，-7）
• C． （-7，0）
• D． （-7，-6）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論

解答 解：設(shè)g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）
∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，2f（x）+xf′（x）＜x，
∴2xf（x）+x²f′（x）＞x²＞0，
∴g′（x）=[x²f（x）]′＞0，
∴函數(shù)g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵（x+6）²f（x+6）-f（-1）＞0，
∴g（x+6）＞g（-1），
∴x+6＞-1，且x+6＜0，
∴-7＜x＜-6，
∴不等式的解集為（-7，-6）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．